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【求助】數學學習: 操作性學習 v.s 抽象思考


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(導護媽媽線上檢舉)
女兒現在小四, 語文方面,看應用題的題意了解能力應該沒有問題, 應付學校功課目前是綽綽有餘. 幾乎不寫評量, 不過因為計算不夠熟練, 會讓他有空時寫些專門計算的練習題本.

我讓他玩了兩年半的生活數學, 每堂課都在玩操作性的教具, 孩子的接受度相當高也很享受上課的時光, 據老師的說法, 孩子的邏輯與推理還蠻不錯的, 往往他給了個頭或提示一下, 他就能很快往下繼續想下去. 可是在日常生活中, 有時我和他爸爸興致一來出了個數學題給他動動腦, 發現他很依賴要人家給他個提示, 或要老師教過的他才能動腦去想一想, 所以我利用暑假讓他去上MPM, 想訓練他一下自行思考不要依賴他人或沒個提示沒教過就不去想的習慣, 然後一開學就停止了. 停止的原因是我不甚喜歡MPM的學習模式(之前是聽人家說其上課方式,之後自己親自去上的感覺又不一樣了), 另一方面也是因為去上的原因本來大概就跟人家不太一樣吧.

問題來了. 在他暑假上MPM的過程我們發現了一件事: 有關面積體積等他在生活數學玩過操作過的單元他都很強, 可是如果是牽涉到抽象思考的部分, 相對之下他就蠻弱的(不過跟他的同學相較之下也算還ok). 他不是對數學特別有興趣有天份的孩子, 我不知道玩這些操作性教具和數學的抽象思考之間是否有關聯,教具玩多了會不會影響抽象的思考呢? 想請教各位有經驗與了解的前輩.
 
 
時間:2006-12-07 23:33

全部發言22則
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第1則


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我女兒是讀蒙氐畢業的,記得他們有句格言:因為我做過,所以我了解、記得。
操作性的學習一定有它的優點,像女兒園長常說:他們小學安親班的孩子,遇到數學無法理解時,他會叫他做幾次相關的教具,然後學生多能豁然開朗,且操作性學習如果不斷的練習、熟練後,它會內化而不再須要教具,就好比本來要用手指算,進而一看就能反應出答案(不是珠、心算哦),可是這當中須要不斷的反覆練習,這是幼稚園的階段,我不知道小四生如果很依賴操作性學習,這算是優或是劣,我想優點應是操做過,他能馬上就懂吧,就像化學要做實驗吧,可是其缺點呢?不知阿亮老師或是花婆婆有什麼答案呢?
發言時間: 2006-12-08 00:26

第2則


參觀 花婆婆(kkmom) 的小窩

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依照孩子的認知發展順序,
2歲–7歲是屬於『前運思期』無法進行抽象思考,需要藉助教具或實物操作,建立數學概念。
例如:由計數實物,形成數的概念。。
 
低年級時還屬於『具體運思期』,已經能根據具體經驗思維以解決問題。
這個階段可以把教具當輔助工具,但是有需要時才用,不是一定得用,
而且是要讓孩子自己挑選他習慣的實物工具使用。
 
而有些認知發展比較快速的孩子,已經可以用『圖像』代替『實物』,當作自己的解題工具了。
甚至可以利用自己熟悉的數學概念或語言,當作解題的工具。
 
例如:你問低年級的孩子『有20顆糖果,每5個裝成一盒,可以裝成幾盒?』
有些熟悉加法的孩子,就會把加法當成解決除法問題的工具。
發現5連加4次後,剛好分完,所以是4盒。
 
熟悉減法的孩子就會這樣想:
20-5=15
15-5=10…….連減4次,剛好分完,所以可以分成4盒。
 
熟悉乘法的孩子就會這樣想:
 
5的1倍是5、2倍是10、3倍是15、4倍是20剛好分完,故可以分4盒。
 
但是把教具操作神話的老師,可能就會要求孩子用教具,每5個放在一個盒子,共放4個盒子,然後算出答案。
沒考量個別孩子的認知發展階段,
當然孩子還沒辦法把加法當成解題工具時,可以利用實物來操作找出解題的方法。
但要幫孩子升級,可以多佈連加或連減的題目,讓孩子累積足夠的連加經驗,自然就能提升認知品質,把加法或減法升級為解題的工具。
而坊間的數學班,公文是根本不考量這些,直接重複練習計算的技巧;而標榜教具操作的數學班,又本末倒置,誤以為教具操作是學習數學概念的一切,不知道怎麼幫孩子過度到抽象思考的層次。
 
數學發展是不斷進化的過程,新架構成立了,慢慢地就可以丟掉舊架構了。
一層一層慢慢蛻變,這才是數學教學的原則。
生活數學沒錯,錯在引導的老師,缺乏數學課程的概念,不知道何時要幫助孩子蛻變。
最後修改時間:2006-12-8 09:06 發言時間: 2006-12-08 09:05

第3則


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我覺得看孩子學數學比較有趣的地方在於觀察不同學習策略會達到的效果有何差異。
 
像我小二的女兒很樂於算數學,買菜吃飯或上商店,她都主動要去算帳,每天把自己的錢包翻出來,享受守財奴數錢的樂趣,所以雖然還沒學過乘法,她卻能在一下時自己推擬出九九乘法表,也能只用加法、土法煉鋼的快速算出2000*20(2000有5個等於10000,20是4個5,所以答案是40000)。她連高年級邏輯題目或圖形題目(不牽扯乘除計算的),本來應該是哥哥要寫的,結果哥哥一題也沒寫,反而是她寫得津津有味。
 
而哥哥是那種能不算數學就盡可能不算的人,平日生活算帳的事全推給妹妹,他的數學也只停留在把課本弄懂就算交差,絕不越雷池一步,所以有時候反應慢得嚇人!但他有時候又會問出很關鍵的問題,而且目前看起來他應付學校的數學,還很遊刃有餘,好像也沒有因為沒興趣、懶得算而產生數學不好的狀況。
 
很想知道等到他們都上高中,真的學到很難的數學,到底誰會顯得容易一些?
發言時間: 2006-12-08 09:29

第4則


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(導護媽媽線上檢舉)

萬媽:
 
依我看來,您家兩個孩子,上高中後的數學應該沒問題.
哥哥只是不想算,但不代表不會算.
 
而妹妹的解題策略,已經超前同儕許多,
甚至已經會利用連乘的策略,這又比分配率高一層的能力喔.
高中數學是模式的運用.
 
依照孩子的天生資質及您的帶領方式,
以後一定大放異彩,
這不是恭維而是真心話!^_^
最後修改時間:2006-12-8 10:10 發言時間: 2006-12-08 10:09

第5則


參觀 萬媽 的小窩

(導護媽媽線上檢舉)

2000*20是哥哥開學時剛學大數乘除時的題目,哥哥還在算乘數被乘數各為幾位數,答案應該是幾位數時,妹妹已經把答案說出來了....實在叫人吃驚,不知道該驚訝妹妹的計算能力真好,還是該驚訝哥哥連幾個0都可以算半天.....
 
總之,有你的安慰,我可以更寬容更有耐心的去<欣賞>孩子和數學的搏鬥了。謝謝。
發言時間: 2006-12-08 10:59

第6則


參觀 阿亮老師(閉上嘴巴,不再說話) 的小窩

(導護媽媽線上檢舉)

我目前在小一的一個班做一項「實驗教學」
就是企圖把「具體操作」和「抽象思考」做一個有效的連結
 
上課的時候
我把課本的內容分成五組
每一組有一個學習的內涵
先利用教具操作
再和孩子對話
下一次上課
再讓小朋友利用練習的題目
回想當時的操作
 
如果想不起來
就重新操作一次
讓小朋友明白
「這樣的操作」就是在解「這種題目」
 
在和孩子的對話中
常常出現不同的解題策略
加上老師最常問小朋友的一些話
「還有沒有其他的方法」
「你的做法可以說出來給大家聽嗎」
「請你說說要如何做」
「請察一下大家的方法,哪一種是最清楚的」
不同的小組
會有不同的火花
 
最棒的是
這次月考
沒有人需要「補救教學」
而且小朋友在上數學課時
是處於「興奮」的狀態
呵呵
 
不過說真的
三個多月下來
還真是累呦
發言時間: 2006-12-08 12:55

第7則


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題外話
我是越來越懶的
現在覺得不管父母如何引導
孩子的資質和自己的努力還是最重要的
抽象思考她會發展就是會發展
否則父母在如何努力引導
恐怕還是會停滯在某個階段
發現一些數學很強的小孩 父母根本數學也不怎麼樣
不知道我這樣的想法對不對
自己懂得努力還是最重要的 數學的思考除非將來打算走這方面的,否則似乎基礎學力測驗影響也不大.
我有些朋友都將他們的孩子的數學超前補習停止.本來都超前學習的,但是因為基測的數學考題不難.超前學習反而對考試成績沒幫助
反倒是國文考試難.
我很多學生出去工作後
回到技職體系讀書
開始努力竟然也都考上中央中興交大等大學的研究所.從二專可以跳躍到國立研究所,說實在簡直不可思議.也和數學能力無關.現在似乎路比以前寬廣太多
 
關於萬媽的想法,
 
我覺得高中的數學和小學可能沒有多大因果關係.我的意思是不見得這時候的表現會連結到未來的表現
會有這樣的感慨就是因為我中學的朋友,數學每次都考一百.超前我們一二十分.可是最後卻是鋼琴老師.她的數學能力並不強.
但是在國中時候,卻展現超強的能力.這真的讓我百思不解.
尤其是我的國中也是全市之名國中,我們班又比其他班級程度好.因此我認為他並非是靠死記讀數學<要靠記憶有太多人有這個能力>
我對於真正的數學能力實在有太多不解之處 數學是不是只有資質佳抽象思考能力強的人才有能力去讀呢?
我覺得小學數學不好,高中會變好反而是突變比較有可能.就是開翹.
如果孩子開翹.那應該由開翹的時機看起,而非由小學時候來推論.
最後修改時間:2006-12-8 18:46 發言時間: 2006-12-08 18:44

第8則


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(導護媽媽線上檢舉)

轉貼某論壇談論為何學數學的一篇文章,
作者的暱稱是蟑螂.
 
如果認為學數學只是想應付學測,
那建議將此篇轉貼跳過:p
 

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蟑螂
2004-11-29, 05:01 AM
數學的重要性
 
人類被稱為萬物之靈,其中有一項很重要的特質:人類能夠「用抽象的符號來代表事物」,而且,在「賦于某些符號的定義」之後,能夠「用該符號來思考及推理」。
 
首先談「用抽象的符號來代表事物」:
人類在進化的過程中,先是用『實體的物品』來作代表(例如部落的圖騰),接著是用『象徵性的物品』來作代表(如結繩記事),然後是『象徵性的符號』來作代表(如各種古蹟的符號),然後出現象形文字,慢慢演變成今天的文字,透過教育的方式,讓學習者可以不用知道文字『象的是什麼形』,而能理解該文字所要代表的意思。
我曾經在第四台(Discovery或National Geographic忘記了,因為兩者都愛看,混淆了)看到一個節目,一群科學家利用觸控式螢幕的電腦,花了很長一段時間,教會一隻猴子點選螢幕上的圖形(香蕉,玉米等),來選取牠要吃的午餐,目前正在教牠用 Yes, No, Happy….來表達情緒,未來將進一步教牠點選 Banana,就給牠香蕉吃……這隻猴子還是精選最聰明的,人類真的是萬物之靈。
 
其次再談「賦于某些符號的定義之後,能夠用該符號來思考及推理」:
這就是數學,幼稚園的學生,要教他數數目,要畫出實物的形象,或用實物的教具,三個蘋果,五隻蝴蝶,用手指頭來算個位數加減。
漸漸揚棄實物改用阿拉伯數字,再教 + - × ÷ 這些符號的定義,由個位數的計算慢慢「推理」成兩位數,三位數……
熟悉了之後,接著繼續學習某些符號用來思考自然界的現象,幾何,三角函數,代數,微積分……
具備了某些「數學基礎」之後,利用數學的推理及思考,慢慢進入物理,化學,工程….等等自然科學領域,利用統計,會計等的推理及思考進入社會科學的領域。
 
這就是為什麼世界各國都把語文(本國的及外國的)和數學當作學習的主科,從小到大持續的教育訓練:
語文者,表達,理解及溝通。
數學者,推理及思考。
 
這兩者正是人類異於禽獸的主因。
 
最後修改時間:2006-12-8 21:23 發言時間: 2006-12-08 21:20

第9則


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(導護媽媽線上檢舉)


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蟑螂
2004-11-29, 06:19 AM
【我們的數學教育到底有哪些才是真正嚴重的問題?】
 
有人說:「數學好的人,學什麼都快。」這句話的可信度相當高,原因在於數學是訓練抽象思考及邏輯推理的能力。
蟑螂有一個比喻,好像練武者要先練內功,如果內功先打好紮實的基礎,再來學習拳腳功夫,不但學得快,而且能夠發揮其最大威力,更可以觸類旁通,舉一反三。
 
教育專家們把數學列為主科,從小訓練一個人利用符號來做抽象思考及邏輯推理訓練,跳脫「實體形象」的束縛以後,思想無拘無束,聯想力海闊天空,無論學什麼都比較快,比較好,這應該是學習數學的最大目的。
●受過土木建築訓練的人,利用一些線條及符號,就可以把房屋蓋起來,普通人則必須畫出房屋的實體圖才能有大概的印象。
●受過機械製圖訓練的人,利用一些線條及符號,就可以把機器,汽車,飛機造出來,普通人則必須畫出機器,汽車,飛機的實體圖才能有大概的印象。
●透過抽象的思考,華生和克立克以雙螺旋的符號揭開了DNA的遺傳秘密......根本看不到其「實體形象」。
●冥王星則是觀察到海王星的軌道有異,以數學計算其誤差,推論其成因後,預測應該有一個未知的天體,並算出其可能位置後,硬是把它給找出來的。
 
所以,數學教育應該是「訓練學生抽象思考及邏輯推理能力」,以作為日後各個領域更深入研究的基礎。
反觀我們的數學教育,只是為了應付考試,解題能力凌駕「訓練抽象思考及邏輯推理能力」的功用,學生有嚴重的挫折感,分數代表一切,捨本逐末,才是真正嚴重的問題。
 
http://forum.nta.org.tw/tpctc/test/archive/index.php/t-609.html
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最後修改時間:2006-12-8 21:22 發言時間: 2006-12-08 21:20

第10則


參觀 didiii 的小窩

(導護媽媽線上檢舉)

這就是我有太多不解之處
一直以來學校教數學都在說是訓練學生邏輯思考
可是呢
根本不是這樣吧
根本都是在應付學測
幾乎每個家長努力教數學也是為了孩子將來的入學
否則幹麻幼稚園就送什麼數學遊戲學習的,不就是為了孩子的未來嗎
因為數學成績好,就容易上好學校
反過來想,如果基測的數學成績沒有判別力,這樣只要努力到80分,剩下的20分不如拿來努力更可以提高成績的科目.
以我自己而言,孩子的數學成績好不好,到不是很在乎,如果這個孩子的數學能力好,那我會注意她的數學成績,反過來如果她有其他能力,我就覺得數學差不多就好,沒必要一定要跑到前面.如果今天有人告訴我我認為數學不是很重要的想法不對,因為這樣孩子考不上好學校,這應該就是我會去送孩子學數學的主因吧.
現在問題來了
我們的學生學術學也學到微積分,可是看看報紙,看看那些政治名嘴,有多少人的邏輯思考,批判思考真的好的?還是不是隨風起舞
數學好真的邏輯思考就好嗎?這是什麼樣的迷思?誰說的?以訛傳訛嗎?想當然爾嗎?還是有扎實的研究呢?如果這樣我們的數學成績是排名在美國前面,大家的邏輯應該比他們好吧?
看看發展出原子彈的科學家吧,很多都是得過諾貝爾獎的,可是當時他們發展原子彈的目的是為了搶先德國發展出來,但是當德國投降後,他們卻不自覺,反而還是埋頭苦幹.這個邏輯夠簡單吧?發展原子彈是怕德國先發展,德國投降,應該就沒必要繼續發展.
原子彈試爆後,所有的科學家只有其中一人腦筋清醒的自省.其他人都興高采烈,一直到後來他們發現不對了,才又集體要求停止核子彈的研發<請看費曼的自傳和原子彈的發展史>
我反而覺得如果是為了邏輯思考,應該教哲學.
 
看到太多理工科的學生只會單一思考.
 
在談談文中提到的華生等人,其實這些科學家,同樣的做法,他們的老師他們的同儕都看不到,就只有這些人看到關鍵點.
我印象深刻的是一位科學家,她和她老師一同看落日.可是只有他頓悟一個理論,這理論幫助改變世界的觀點.
 
這些人就是我說的數學資質特好的人.他們可以看出別人看不到的觀點.可以抽象思考我們難以理解的概念.
數學簡直是為他們而生的.
 

在談談數學的教學.文中也提到我們的數學教育不對.其實美國高中以下大部分的數學教學也是很簡單的解題.只是我們解題比較困難.這點費曼就批判過.
 
如果真的是邏輯思考,仿效歐洲吧,高中就學哲學,這對大部分數學能力普普的人,反而更容易理解
作者說
 
<語文者,表達,理解及溝通。
數學者,推理及思考。
 
這兩者正是人類異於禽獸的主因。>
我家兔子不需要學數學,只要一聽到腳步聲,就會跑到食盤前,等我們倒食物.他也知道如果我們將食物放在外出龍,就是要帶她出去.
 
兔子也不需要語言,搖搖尾巴,就可以溝通
 
不如改成 想像力和道德是人類亦於禽獸的主因.
 

最後,我是覺得如果數學的目的是為了邏輯思考,那應該如何教才能達到這個目的呢?是數學史?
 
我說了這堆廢話,只是想很誠實的省思過去我們的因循的想法.如果數學好是為了學測,有何不可?很誠實的面對現實呀.有得罪之處抱歉抱歉

ps花婆婆我不是要找你吵哦.其實我也喜歡數學.只是我們學校企管系排入微積分,還有管理數學,還有什麼東東的矩陣,然後說是為了學生邏輯思考.我們還為這些有些爭論.因為課程只有幾個學分,總是要考慮對學生最有利益的.表決結果是除了兩位老師,其他老師都認為數學有利於學生邏輯思考,是基礎思考,所以還是在技職體系留下管理數學<教矩陣>
但是我一點都不覺得我們的學生在經過十多年的教學,邏輯有稍微變好.反而是教他們批判思考能力,才讓他們邏輯好一點.
最後修改時間:2006-12-9 11:32 發言時間: 2006-12-09 10:26